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逻辑回归是机器学习中最基础的分类算法之一。它主要用于解决二分类问题，比如判断邮件是否为垃圾邮件，或者预测某个疾病是否会发生。逻辑回归的核心是Sigmoid函数，它能将任何实数映射到0到1之间，这个值可以解释为事件发生的概率。
Sigmoid函数是逻辑回归的核心。它的数学表达式是1除以1加上e的负x次方。这个函数有几个重要特点：首先，它的输出值域严格在0到1之间，这使得它的输出可以解释为概率。其次，当x等于0时，函数值恰好是0.5，这是一个天然的分类阈值。最后，函数是单调递增的，呈现出平滑的S型曲线。
逻辑回归通过设定阈值来做出分类决策。通常我们选择0.5作为阈值：当预测概率大于等于0.5时，我们将样本分类为正类；当概率小于0.5时，分类为负类。这个阈值在输入空间中对应着一个线性决策边界，也就是使得sigmoid函数输出为0.5的输入值，即x等于0的位置。
逻辑回归在实际应用中非常广泛。在医学领域，它可以预测疾病发生的概率；在市场营销中，可以预测客户的购买意向；在金融领域，用于评估信贷风险；在互联网应用中，可以进行垃圾邮件过滤和搜索结果排序。逻辑回归的优点包括模型简单易懂、计算效率高、输出具有概率意义，且不容易过拟合。但它也有一些限制，比如假设特征间存在线性关系，对异常值比较敏感，并且通常需要较大的样本量才能获得稳定的结果。
逻辑回归的核心是将线性模型的输出转换为概率。首先，我们计算输入特征的线性组合，得到一个可以是任意实数的值z。然后，我们将这个z值输入到Sigmoid函数中，得到一个0到1之间的概率值。这个转换过程确保了输出始终是有效的概率，无论输入的线性组合是什么值。
在二维特征空间中，逻辑回归的决策边界是一条直线。这条直线的方程由模型的权重参数决定。直线将整个特征空间分为两个区域：直线一侧的点被分类为正类，另一侧的点被分类为负类。图中绿色点代表正类样本，红色点代表负类样本，蓝色直线就是学习到的决策边界。权重参数的不同值会改变这条边界线的位置和倾斜角度。
让我们总结一下逻辑回归的核心概念。逻辑回归通过四个步骤实现分类：首先计算输入特征的线性组合，然后通过Sigmoid函数将结果转换为0到1之间的概率，接着根据概率值进行分类决策，通常以0.5为阈值。逻辑回归的主要特点包括输出具有概率解释、形成线性决策边界、适用于二分类问题且计算简单高效。它广泛应用于医学诊断、金融风控、市场营销等领域。模型参数通过最大似然估计方法进行优化训练。
让我们看一个具体的应用示例：垃圾邮件分类。首先我们从邮件中提取特征，比如垃圾词汇的数量、链接数量、大写字母比例等。然后将这些特征输入到训练好的逻辑回归模型中，计算出该邮件是垃圾邮件的概率。如果概率大于等于0.5，就分类为垃圾邮件；否则分类为正常邮件。图中显示了不同特征得分对应的垃圾邮件概率，绿色点代表正常邮件，红色点代表垃圾邮件，红色虚线是分类阈值。