视频字幕
等差数列是数学中的重要概念,相邻两项的差值保持不变。我们可以用矩形来表示数列的每一项,矩形的高度代表项的数值。这样,数列的和就等于所有矩形的面积之和。
为了推导求和公式,我们构造一个巧妙的辅助图形。首先复制原来的矩形序列,然后将复制的序列倒置,最后叠加在原序列上方。这样我们发现,每一列的两个矩形高度之和都相等,都等于首项加末项。
通过叠加,我们得到了一个大矩形。这个大矩形的宽度等于项数n,高度等于首项加末项。因此大矩形的面积等于n乘以首项加末项。由于这个大矩形包含了原始序列和复制序列,所以它的面积等于2倍的数列和。
现在我们来完成公式的推导。由于大矩形面积等于2倍的数列和,即2Sn等于n乘以首项加末项,两边同时除以2,就得到了等差数列求和公式。让我们用之前的例子验证一下,结果完全正确!
通过数形结合的方法,我们不仅推导出了等差数列求和公式,更重要的是理解了公式背后的几何意义。这种方法让抽象的数学概念变得直观易懂,体现了数学的美妙之处。数形结合是数学学习中的重要思想方法。