欢迎来到傅里叶变换的探索！我们从一个不规则的时域信号开始，这个信号包含多个频率成分混合在一起。这种复杂的波形代表了现实世界中信号的样子，不是简单的正弦波，而是许多不同频率的组合。
现在我们对时域信号进行傅里叶变换，得到频域表示。在频域图中，我们可以清楚地看到三个主要的峰值，分别对应频率3、7和12赫兹。这些峰值的高度表示每个频率成分在原信号中的幅度大小。
现在我们在频域中进行修改，在频率5赫兹处添加一个新的峰值。绿色曲线显示修改后的频谱，红色半透明曲线显示原始频谱。这个新添加的频率成分将会在逆变换后的时域信号中产生相应的正弦波分量。
这里我们看到逆傅里叶变换的结果。紫色曲线是修改后的时域信号，蓝色半透明曲线是原始信号。可以明显看出，新信号比原信号有更多的波动，这正是新添加的5赫兹频率成分造成的效果。信号变得更加复杂，但依然保持了原有的主要特征。
总结一下，傅里叶变换是连接时域和频域的桥梁。它让我们能够分析信号的频率成分，在频域中进行各种操作，然后通过逆变换回到时域。这个强大的工具在音频处理、图像处理、通信系统等众多领域都有广泛应用。无论是去除噪声、压缩数据还是信号分析，傅里叶变换都是不可或缺的数学工具。
Now we perform the Fourier transform on the time domain signal to get the frequency domain representation. In the frequency domain plot, we can clearly see three main peaks at frequencies 3, 7, and 12 Hz. The height of these peaks represents the amplitude of each frequency component in the original signal.