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快速傅里叶变换，简称FFT，是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。它的核心作用是将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号中包含的不同频率成分及其强度。
离散傅里叶变换的数学公式看起来复杂，但其本质是将时域信号的每个采样点乘以复指数函数，然后求和。这个过程相当于在复数平面上进行旋转和累加，最终得到频域的系数。
FFT算法的最大优势在于其计算效率。直接计算DFT的复杂度是N的平方，而FFT算法将复杂度降低到N乘以log N。这意味着当数据量增大时，FFT的优势会越来越明显。对于1024个数据点，FFT比直接DFT快约100倍。
FFT算法的核心是分治策略。它将N点的DFT问题递归地分解为更小的子问题。首先将序列按奇偶索引分为两部分，每部分计算N/2点的DFT，然后通过旋转因子将结果合并。这种分解一直进行到最小的1点DFT，最终构成一个完整的计算树。
FFT在现代科技中有着极其广泛的应用。在数字信号处理中，它用于频谱分析和滤波；在音频和图像压缩中，它是JPEG和MP3等格式的核心技术；在通信系统中，它实现调制解调；在医学影像、雷达声纳、机器学习等领域也都离不开FFT。可以说，FFT是现代数字技术的重要基石。