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极限和连续性是微积分的基础概念。极限描述了当函数的输入趋近于某个值时,函数输出的趋向。连续性则描述函数图像是否有中断或跳跃。蓝色曲线展示了连续函数,红色曲线展示了在某点不连续的函数。
极限的定义是:当x趋近于a时,函数f(x)趋近于L,记作极限x趋于a时f(x)等于L。图中红色虚线表示x等于a,绿色虚线表示极限值L。黄色点沿着蓝色曲线移动,当它越来越接近红线时,对应的函数值越来越接近绿线。
计算极限时,我们常用因式分解法。对于x趋于2时,x平方减4除以x减2的极限,由于直接代入会得到0除以0的不定式,我们将分子因式分解为x减2乘以x加2,约去公因子x减2,得到x加2,再代入x等于2,得到极限值4。图中显示函数在x等于2处有一个洞,但极限值为4。
函数在某点连续需要满足三个条件:第一,函数在该点有定义,即f(a)存在;第二,函数在该点的极限存在;第三,极限值等于函数值。图中蓝色曲线在点a处连续,红点表示函数值f(a),绿色线条表示函数值的邻域范围。
函数的不连续有三种主要类型。可去不连续是指函数在某点有洞,但极限存在,可以通过重新定义函数值来消除不连续。跳跃不连续是指函数在某点有跳跃,左右极限都存在但不相等。无穷不连续是指函数在某点趋于无穷大,通常出现在分母为零的情况。