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极限和连续性是微积分的基础概念。极限描述了当函数的输入趋近于某个值时，函数输出的趋向。连续性则描述函数图像是否有中断或跳跃。蓝色曲线展示了连续函数，红色曲线展示了在某点不连续的函数。
极限的定义是：当x趋近于a时，函数f(x)趋近于L，记作极限x趋于a时f(x)等于L。图中红色虚线表示x等于a，绿色虚线表示极限值L。黄色点沿着蓝色曲线移动，当它越来越接近红线时，对应的函数值越来越接近绿线。
计算极限时，我们常用因式分解法。对于x趋于2时，x平方减4除以x减2的极限，由于直接代入会得到0除以0的不定式，我们将分子因式分解为x减2乘以x加2，约去公因子x减2，得到x加2，再代入x等于2，得到极限值4。图中显示函数在x等于2处有一个洞，但极限值为4。
函数在某点连续需要满足三个条件：第一，函数在该点有定义，即f(a)存在；第二，函数在该点的极限存在；第三，极限值等于函数值。图中蓝色曲线在点a处连续，红点表示函数值f(a)，绿色线条表示函数值的邻域范围。
函数的不连续有三种主要类型。可去不连续是指函数在某点有洞，但极限存在，可以通过重新定义函数值来消除不连续。跳跃不连续是指函数在某点有跳跃，左右极限都存在但不相等。无穷不连续是指函数在某点趋于无穷大，通常出现在分母为零的情况。