请以资深中国数学教师的身份，解析图片上习题的答案，要求讲解过程图文并茂，用不同的颜色标注，语言风格风趣幽默，简单易懂。---**Question 3:** x=1 是函数 $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \le 1 \\ 3-x, & x > 1 \end{cases}$ 的 **Options:** A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 连续点

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

同学们好！今天我们来分析一个分段函数的间断点问题。这个函数在 x 小于等于1时等于 x 减1，在 x 大于1时等于3减 x。我们需要判断 x 等于1这个点是什么类型的点。从图像可以看出，函数在 x 等于1处有一个明显的跳跃。 首先检查函数在 x 等于1处的函数值是否存在。由于 x 等于1满足 x 小于等于1的条件，我们使用第一段函数 f(x) 等于 x 减1。将 x 等于1代入，得到 f(1) 等于1减1等于0。所以函数值存在，等于0。这一步通过了！ 接下来检查极限是否存在。我们需要分别计算左极限和右极限。从左边趋近于1时，使用函数 x 减1，左极限等于0。从右边趋近于1时，使用函数3减 x，右极限等于2。由于左极限不等于右极限，所以在 x 等于1处极限不存在。这说明函数在此处不连续！ 现在我们来判断间断点的类型。跳跃间断点是指左右极限都存在但不相等的情况。可去间断点是极限存在但不等于函数值。无穷间断点是极限为无穷大。在我们的例子中，左极限等于0，右极限等于2，都是有限值但不相等，这正是跳跃间断点的特征。所以答案是B，跳跃间断点！ 总结一下，判断分段函数在分界点的连续性需要检查三个条件：函数值是否存在、极限是否存在、函数值是否等于极限值。在这个例子中，函数值存在等于0，但左右极限不相等，分别是0和2，所以极限不存在。这种左右极限都存在但不相等的情况就是跳跃间断点。因此答案是B。