视频字幕
傅里叶变换是数学中一个非常重要的工具。它的核心思想是将任何复杂的信号或函数，分解成许多简单的正弦波和余弦波的叠加。就像这个复杂的波形，实际上是由多个不同频率的简单波形组合而成的。
傅里叶变换有严格的数学定义。正向变换将时域信号f(t)转换为频域表示F(ω)，使用复指数函数作为基函数。逆变换则将频域信息还原回时域。这个过程就像将一个复杂的音乐信号分解成不同音调的纯音。
让我们看看信号分解的具体过程。一个复杂的波形实际上是由多个简单的正弦波叠加而成。蓝色是基础频率，红色是三倍频率，绿色是五倍频率。当这些简单的波形相加时，就形成了紫色的复杂波形。这就是傅里叶变换的核心思想。
傅里叶变换在现代科技中有着广泛的应用。在信号处理中，它用于音频压缩和噪声滤波。在图像处理中，JPEG压缩就基于二维傅里叶变换。通信系统利用它进行信号调制和频谱分析。在物理学中，量子力学的波函数分析离不开傅里叶变换。工程领域则用它分析振动和控制系统。
总结一下我们今天学习的内容。傅里叶变换是一个强大的数学工具，它能够将任何复杂的信号分解为简单的正弦波和余弦波的组合。它实现了时域和频域之间的桥梁，让我们能够从不同的角度分析信号。从音频处理到图像压缩，从通信系统到量子物理，傅里叶变换在现代科技中发挥着不可替代的作用。