辅助角公式是三角函数中的重要工具，它能将两个不同三角函数的和转化为单个三角函数的形式。这个公式将 a 倍正弦 x 加 b 倍余弦 x 的表达式，转化为 R 倍正弦括号 x 加 α 的形式，其中 R 等于根号下 a 平方加 b 平方，α 是辅助角。
现在我们来推导辅助角公式。首先设定目标形式，将 a 正弦 x 加 b 余弦 x 等于 R 正弦括号 x 加 α。然后展开右边，利用正弦的加法公式。重新整理后，我们得到 R 余弦 α 乘以正弦 x 加 R 正弦 α 乘以余弦 x。通过系数对应，我们得到 a 等于 R 余弦 α，b 等于 R 正弦 α。在单位圆中，这对应着一个向量，其中 a 和 b 是坐标分量，R 是模长，α 是角度。
现在我们来看具体的计算公式。由勾股定理，R 的平方等于 a 的平方加 b 的平方，所以 R 等于根号下 a 平方加 b 平方。由三角函数定义，余弦 α 等于 a 除以 R，正弦 α 等于 b 除以 R，因此正切 α 等于 b 除以 a。需要注意的是，α 的象限由点 a 逗号 b 的象限决定。让我们看一个具体例子：3 正弦 x 加 4 余弦 x。这里 a 等于 3，b 等于 4，所以 R 等于根号下 9 加 16 等于 5，正切 α 等于 4 除以 3。
让我们通过一个具体例子来应用辅助角公式。求函数 f 括号 x 等于正弦 x 加根号 3 倍余弦 x 的最值。首先确定系数 a 等于 1，b 等于根号 3。然后计算振幅 R 等于根号下 1 平方加根号 3 的平方等于根号 4 等于 2。接着计算辅助角，正切 α 等于根号 3 除以 1 等于根号 3，所以 α 等于 π 除以 3。因此原函数可以转化为 2 倍正弦括号 x 加 π 除以 3。由于正弦函数的值域是负 1 到 1，所以该函数的最大值是 2，最小值是负 2。
总结一下我们学习的辅助角公式。辅助角公式是将两个三角函数的和转化为单个三角函数的重要工具。核心公式是 a 倍正弦 x 加 b 倍余弦 x 等于 R 倍正弦括号 x 加 α。其中振幅 R 等于根号下 a 平方加 b 平方，辅助角 α 满足正切 α 等于 b 除以 a。这个公式广泛应用于求三角函数的最值和化简，是解决三角函数问题的重要工具。