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圆幂定理是平面几何中的一个重要结论，它描述了点与圆之间的特殊关系。当我们过一个点作直线与圆相交时，形成的线段长度乘积具有定值性质，这个定值就是该点关于圆的幂。
对于圆外一点，圆幂定理表述为：过圆外一点作两条割线，割线被圆所截得的两段长度的乘积相等。即PA乘以PB等于PC乘以PD。这个关系对于过点P的任意割线都成立。
圆幂定理还有一个重要的特殊情况：过圆外一点作一条切线和一条割线，切线长的平方等于割线的两段长度的乘积。即PT的平方等于PA乘以PB。这个关系在很多几何问题中都有重要应用。
对于圆内一点，圆幂定理表述为：过圆内一点作任意弦，该点分弦的两段长度的乘积为定值。即PA乘以PB等于PC乘以PD。值得注意的是，圆内点的幂值为负数，这表明点位于圆的内部。
总结一下圆幂定理的要点：圆幂定理描述了点与圆的位置关系的数量特征。对于圆外点，割线段乘积相等，切线长平方等于割线段乘积。对于圆内点，弦被该点分成的两段长度乘积为定值。圆幂定理在解决圆的相关几何问题中有着广泛的应用。
现在我们用相似三角形来证明割线定理。连接AC和BD，构造三角形PAC和PDB。角P是两个三角形的公共角，而角PCA和角PBD是同弧所对的圆周角，因此相等。根据角角相似判定，三角形PAC相似于三角形PDB，由相似三角形对应边成比例，可得PA乘以PB等于PC乘以PD。
接下来证明切割线定理。连接AT和BT，构造三角形PAT和PTB。角P是两个三角形的公共角，而角PTA是弦切角，等于弦AT所对的圆周角PBT。根据角角相似判定，三角形PAT相似于三角形PTB，由相似三角形对应边成比例，可得PT的平方等于PA乘以PB。
最后证明相交弦定理。连接AC和BD，构造三角形PAC和PDB。角APC和角DPB是对顶角，因此相等。角CAP和角CDB是同弧CB所对的圆周角，因此相等。根据角角相似判定，三角形PAC相似于三角形PDB，由相似三角形对应边成比例，可得PA乘以PB等于PC乘以PD。
总结一下圆幂定理与相似三角形的关系：圆幂定理通过相似三角形得到严格证明。割线定理、切割线定理、相交弦定理都基于角角相似判定。关键在于识别同弧圆周角、弦切角等角度关系。相似三角形为圆幂定理提供了坚实的理论基础。