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我们来解决一个关于一元二次方程实数根的问题。给定方程 x 的平方减 4x 减 2k 加 8 等于 0，其中 k 是参数。我们需要找到使方程有两个实数根的 k 的取值范围，并在特定条件下求出 k 的值。
现在我们来求解第一问，k 的取值范围。对于一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于等于零。我们的方程是 x 平方减 4x 减 2k 加 8 等于零，其中 a 等于 1，b 等于负 4，c 等于负 2k 加 8。计算判别式得到 8k 减 16。要使方程有两个实数根，需要 8k 减 16 大于等于零，解得 k 大于等于 2。
接下来我们解决第二问。首先应用韦达定理，对于方程 x 平方减 4x 减 2k 加 8 等于零，我们有 x1 加 x2 等于 4，x1 乘以 x2 等于 8 减 2k。已知条件是 x1 的三次方乘以 x2 加上 x1 乘以 x2 的三次方等于 24。我们可以将左边因式分解为 x1 乘以 x2 乘以括号 x1 平方加 x2 平方。利用恒等式，x1 平方加 x2 平方等于 x1 加 x2 的平方减去 2 倍 x1 乘以 x2，代入得到 4k。
现在我们建立关于 k 的方程。将前面得到的结果代入，得到括号 8 减 2k 乘以 4k 等于 24。展开得到 32k 减 8k 平方等于 24，整理后得到 8k 平方减 32k 加 24 等于零。两边同除以 8，得到 k 平方减 4k 加 3 等于零。因式分解得到括号 k 减 1 乘以括号 k 减 3 等于零，所以 k 等于 1 或 k 等于 3。结合第一问的条件 k 大于等于 2，我们得到 k 等于 3。
让我们总结一下这道题的解题过程。第一问通过判别式大于等于零的条件，求得 k 大于等于 2。第二问运用韦达定理和恒等式变换，建立了关于 k 的二次方程，解得两个候选值。最后结合第一问的约束条件，确定 k 等于 3 是唯一解。这道题展示了一元二次方程根的判别式在解题中的重要作用。