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欢迎来到圆的性质互动练习！在这里，我们为你准备了三个不同难度层次的题目。绿色的基础题主要考查垂径定理和弧长计算，黄色的提高题涉及圆周角定理和直径性质，红色的拓展题则是综合应用和实际问题。你可以根据自己的能力水平自主选择练习内容。
现在我们来看第一道基础题。已知圆的直径为20厘米，一条弦长为16厘米，求圆心到这条弦的距离。解决这个问题的关键是运用垂径定理：从圆心向弦作垂线，垂线平分弦。这样我们可以构造一个直角三角形，其中斜边是半径10厘米，一条直角边是弦的一半8厘米，另一条直角边就是我们要求的距离。根据勾股定理，距离等于根号下10的平方减去8的平方，等于6厘米。
接下来是提高题。在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB垂直于CD于点E。已知AE等于1，CD等于6，求圆O的半径。首先设半径为r，由于A到圆心O的距离是半径r，而AE等于1，所以OE等于r减1。根据垂径定理，垂线平分弦，所以CE等于CD的一半，即3。在直角三角形OCE中，应用勾股定理：OC的平方等于OE的平方加CE的平方。即r的平方等于r减1的平方加9。展开得到r的平方等于r的平方减2r加10，化简得2r等于10，所以半径r等于5。
最后是拓展题，这是一个实际应用问题。某公园要建圆形花坛，测得弦AB等于8米，从AB中点C到弧AB的距离为2米，求花坛半径。设半径为R，以圆心为原点建立坐标系。由垂径定理，C是AB中点，所以AC等于4米。从C到弧的距离是2米，意味着圆心到弦的距离是R减2。在直角三角形中，应用勾股定理：R的平方等于4的平方加上R减2的平方。展开得到R的平方等于16加R的平方减4R加4，化简得4R等于20，所以半径R等于5米。若要安装12盏彩灯，相邻两盏灯的距离等于圆周长除以12，即10π除以12，等于六分之五π米。
通过这次互动练习，我们系统复习了圆的重要性质。垂径定理是解决弦与圆心距离问题的核心工具，圆周角定理帮助我们分析角度与弧的关系。在解题过程中，勾股定理经常与其他定理结合使用。这些圆的性质不仅在数学学习中重要，在建筑设计、机械制造等实际领域也有广泛应用。掌握这些基础知识，将为我们进一步学习解析几何和其他高等数学内容奠定坚实基础。希望同学们能够灵活运用这些知识，在实践中不断提高解题能力。