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今天我们来解决一道比较有挑战性的几何题。题目是这样的：在圆O中，四边形ABCD内接于圆，已知AB等于6，BC等于8，CD等于10，DA等于12。要求四边形ABCD的面积。这是一道关于圆内接四边形的经典难题，需要用到托勒密定理和海伦公式等重要几何知识。
要解决这个问题，我们需要使用托勒密定理。托勒密定理指出，对于圆内接四边形ABCD，有AC乘以BD等于AB乘以CD加上BC乘以AD。将已知条件代入，设对角线AC等于p，BD等于q，则p乘以q等于6乘以10加上8乘以12，即p乘以q等于156。这给了我们对角线乘积的重要信息。
现在我们使用布拉马古普塔公式来计算圆内接四边形的面积。公式为S等于根号下s减a乘以s减b乘以s减c乘以s减d，其中s是半周长。首先计算半周长s等于6加8加10加12除以2等于18。然后代入公式，S等于根号下12乘以10乘以8乘以6，等于根号5760，最终得到面积为24倍根号10。
让我们验证计算结果。四边形ABCD的面积为24倍根号10。数值计算得出根号10约等于3.162，所以面积约为75.89平方单位。我们还可以通过托勒密定理验证对角线乘积为156。这道题综合运用了托勒密定理和布拉马古普塔公式，是圆内接四边形的经典问题。最终答案是S等于24倍根号10。
总结一下这道几何难题的解题要点。首先，托勒密定理是解决圆内接四边形问题的关键工具，它建立了边长和对角线之间的关系。其次，布拉马古普塔公式可以直接计算圆内接四边形的面积。本题的最终答案是S等于24倍根号10，约等于75.89平方单位。这类几何题需要我们熟练掌握古典几何定理的应用。