Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables. El objetivo es encontrar los valores de esas variables que satisfagan todas las ecuaciones al mismo tiempo. Por ejemplo, tenemos x más y igual a cinco, y dos x menos y igual a uno. La solución es x igual a dos, y igual a tres.
Existen tres métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método de sustitución consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituir en la otra. El método de eliminación multiplica las ecuaciones para eliminar una variable al sumarlas. El método gráfico representa cada ecuación como una línea, y la solución es el punto donde se cruzan.
Veamos un ejemplo usando el método de sustitución. Tenemos el sistema x más y igual a cinco, y dos x menos y igual a uno. Primero, despejamos y de la primera ecuación: y igual a cinco menos x. Luego sustituimos en la segunda ecuación: dos x menos paréntesis cinco menos x paréntesis igual a uno. Simplificando: tres x menos cinco igual a uno, por lo tanto x igual a dos. Finalmente, y igual a cinco menos dos igual a tres. Verificamos: dos más tres igual a cinco, y dos por dos menos tres igual a uno.
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener tres tipos de soluciones. Primero, solución única: cuando las líneas se cruzan en exactamente un punto, el sistema es consistente e independiente. Segundo, sin solución: cuando las líneas son paralelas y nunca se cruzan, el sistema es inconsistente. Tercero, infinitas soluciones: cuando las ecuaciones representan la misma línea, el sistema es dependiente y tiene infinitos puntos de solución.
Para resumir lo que hemos aprendido sobre sistemas de ecuaciones: Un sistema busca valores de variables que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Los métodos principales son sustitución, eliminación y gráfico. Puede tener solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. Los sistemas de ecuaciones lineales son herramientas fundamentales en matemáticas y tienen múltiples aplicaciones en ciencias e ingeniería.