1、播放自行车车轮转动、摩天轮运行、圆形建筑动态视频，提问：“车轮为何设计为圆形？摩天轮的旋转蕴含哪些数学规律？” 2、插入30秒数学史动画：祖冲之使用割圆术计算圆周率、阿基米德通过穷竭法推导圆面积，抛出问题：“古人如何用数学揭开圆的奥秘？” （二）分层知识建构（8分钟） 1. 基础层（3分钟） 圆的定义与基础概念：动画分步骤演示“固定一点，等距旋转成圆”，用大号字体标注圆心、半径、直径；对比大圆与小圆，强调“圆心确定位置，半径确定大小”。 垂径定理：动画展示圆沿直径对折，弦被平分的过程，用彩色线条突出关键线段；配合语音讲解：“垂直于弦的直径，不仅平分这条弦，还平分弦所对的两条弧”，并通过简单符号（如 ）辅助理解。 圆周角定理：用几何画板动态测量同弧所对的圆周角与圆心角，引导学生观察倍数关系，直接呈现结论：“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”。 2. 进阶层（3分钟） 圆的性质深化：结合自行车车轮实际尺寸，推导半径与周长的关系（ ）；对比同心圆（共享圆心）与等圆（半径相等）在机械设计中的应用案例。 垂径定理推导：通过“圆的轴对称性”证明垂径定理：连接圆心与弦端点，利用全等三角形（ ）或勾股定理推导；设计变式问题：“已知弦长和弦心距，如何求圆的半径？” 圆周角定理证明：分三类情况（圆心在圆周角一边上、内部、外部），逐步添加辅助线转化为等腰三角形问题，结合动态标注展示证明过程。 3. 拔尖层（2分钟） 跨学科拓展：用阿基米德将圆转化为三角形推导面积的方法，结合物理等效替代思维；展示刘徽割圆术，类比物理实验误差缩小方法。 定理延伸：提出圆周运动中，如何借阿基米德圆面积推导思路，分析扇形区域物体受力分布，促进数理融合。