解答下这道题---已知抛物线 C: y^2=3x 的焦点为 F, 斜率为 3/2 的直线 l 与 C 的交点为 A, B, 与 x 轴的交点为 P. (1) 若 |AF|+|BF|=4, 求 l 的方程; (2) 若 $\vec{AP} = 3\vec{PB}$, 求 $|AB|$.

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我们来分析这道抛物线问题。已知抛物线 C 的方程为 y 的平方等于 3x，焦点为 F。有一条斜率为二分之三的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，与 x 轴相交于点 P。我们需要解决两个问题：第一，当 AF 加 BF 的长度等于 4 时，求直线 l 的方程；第二，当向量 AP 等于 3 倍向量 PB 时，求线段 AB 的长度。 现在我们来解决第一问。首先确定抛物线的基本信息：抛物线方程 y 的平方等于 3x，可以写成 y 的平方等于 2px 的形式，其中 p 等于二分之三。因此焦点 F 的坐标为四分之三逗号零，准线方程为 x 等于负四分之三。根据抛物线的定义，点 A 到焦点的距离等于 x_A 加四分之三，点 B 到焦点的距离等于 x_B 加四分之三。由条件 AF 加 BF 等于 4，可得 x_A 加 x_B 等于二分之五。 接下来求解直线方程。设直线 l 的方程为 y 等于二分之三 x 加 b。将 x 等于三分之二倍括号 y 减 b 代入抛物线方程，得到 y 的平方等于 2 倍括号 y 减 b，整理得 y 的平方减 2y 加 2b 等于零。利用韦达定理，y_A 加 y_B 等于 2，y_A 乘以 y_B 等于 2b。由于 x_A 加 x_B 等于三分之二倍括号 2 减 2b，结合 x_A 加 x_B 等于二分之五，解得 b 等于负八分之七。因此直线方程为 y 等于二分之三 x 减八分之七。 现在解决第二问。根据向量关系 AP 等于 3 倍 PB，可得 4P 等于 A 加 3B。由于点 P 在 x 轴上，所以 y_P 等于零，因此 4 乘以零等于 y_A 加 3 倍 y_B，即 y_A 加 3 倍 y_B 等于零。结合韦达定理 y_A 加 y_B 等于 2，解得 y_A 等于 3，y_B 等于负 1。将这些值代入抛物线方程，得到点 A 的坐标为括号 3 逗号 3，点 B 的坐标为括号三分之一逗号负 1。利用两点间距离公式计算，AB 的长度等于三分之四倍根号 13。 让我们总结一下这道抛物线问题的解题过程。第一问中，我们利用抛物线焦点的性质，结合韦达定理，成功求出直线方程为 y 等于二分之三 x 减八分之七。第二问中，通过向量关系建立坐标方程，最终计算出线段 AB 的长度为三分之四倍根号十三。这道题的关键在于将抛物线的几何性质与代数运算相结合，体现了解析几何的基本思想。