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泰勒定理是数学分析中的重要定理，它提供了用多项式逼近函数的方法。核心思想是将复杂函数在某点附近展开为多项式形式。例如，我们可以用一次多项式来逼近指数函数。
泰勒多项式的一般形式包含函数在展开点的各阶导数。零阶近似是常数，一阶近似是直线，二阶近似是抛物线。随着阶数增加，多项式越来越接近原函数。
泰勒定理的完整表述包含余项。函数等于泰勒多项式加上余项。余项表示逼近误差，随着阶数增加而减小。黄色区域显示了逼近误差的大小。
这里展示了三个重要函数的泰勒级数。指数函数的级数所有项都是正的，正弦函数只有奇次项，余弦函数只有偶次项。这些级数在数学和物理中应用广泛。
总结一下我们学到的内容：泰勒定理提供了用多项式逼近函数的方法，多项式系数由函数的各阶导数确定。余项表示逼近误差，随着阶数增加而减小。这个定理在数学分析、物理学和工程学中有广泛应用，是微积分的重要工具。