视频字幕
凯利公式是金融数学中的一个重要工具，用于确定在投资或赌博中应该投入多少比例的资金。它的目标是最大化长期资金的增长率，通过最大化资金对数的期望值来实现。图中显示了增长率与投资比例的关系，红点表示最优投资比例。
在推导凯利公式之前，我们需要设定问题的基本假设。假设我们有初始资金W零，面临一个投资机会，有两种可能的结果。以概率p获胜时，每投入一单位资金可以获得b单位的额外收益。以概率q等于一减p失败时，会损失全部投入的资金。我们需要决定投入当前资金的f比例。
接下来我们计算投资后资金的期望值。如果获胜，资金变为W零乘以一加f乘b。如果失败，资金变为W零乘以一减f。为了最大化长期增长率，我们需要计算资金对数的期望值，这等于p乘以获胜时资金对数加上q乘以失败时资金对数。
为了找到最优的投资比例，我们需要对目标函数求导。设G(f)等于p乘以log(1+fb)加上q乘以log(1-f)。对f求导得到G'(f)等于pb除以(1+fb)减去q除以(1-f)。令导数等于零，我们得到pb除以(1+fb)等于q除以(1-f)。图中显示了导数函数，红点表示导数为零的最优点。
现在我们完成凯利公式的推导。从pb除以(1+fb)等于q除以(1-f)开始，交叉相乘得到pb乘以(1-f)等于q乘以(1+fb)。展开并整理得到pb减q等于f乘以(pb+qb)。最终解出最优投资比例f星等于(pb减q)除以b。这就是著名的凯利公式。需要注意的是，只有当pb大于q时，公式才有效，否则最优策略是不投资。