按步骤解析这道数学题---Question 17: Let $S_n$ be the sum of the first $n$ terms of the sequence $\{a_n\}$. It is known that $a_1 = 1$, and $\{\frac{S_n}{a_n}\}$ is an arithmetic sequence with common difference $\frac{1}{3}$. (1) Find the general term formula for $\{a_n\}$. (2) Prove: $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} < 2$.

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我们来解析这道关于数列的题目。已知数列 a n 的首项 a 1 等于 1，并且 S n 除以 a n 构成的数列是公差为三分之一的等差数列，其中 S n 是前 n 项和。我们需要求出数列 a n 的通项公式。 首先，我们设 b n 等于 S n 除以 a n。由于 b n 是公差为三分之一的等差数列，当 n 等于 1 时，b 1 等于 S 1 除以 a 1，即 1 除以 1 等于 1。根据等差数列的通项公式，b n 等于 1 加上 n 减 1 乘以三分之一，化简得到 b n 等于 n 加 2 除以 3。因此我们得到关键关系式：S n 等于 n 加 2 除以 3 乘以 a n。 接下来建立递推关系。由于 S n 等于 S n 减 1 加上 a n，我们将之前得到的关系式代入。经过整理，得到 n 减 1 乘以 a n 等于 n 加 1 乘以 a n 减 1。这给出了递推关系：a n 等于 n 加 1 除以 n 减 1 乘以 a n 减 1。通过这个关系，我们可以依次计算出 a 2 等于 3，a 3 等于 6，a 4 等于 10。 通过观察数列 1, 3, 6, 10, 15，我们发现这些数字有规律：它们分别是 1 乘以 2 除以 2，2 乘以 3 除以 2，3 乘以 4 除以 2，等等。因此我们猜测通项公式是 a n 等于 n 乘以 n 加 1 除以 2。让我们验证这个公式：当 n 等于 1 时，结果确实是 1；对于 n 大于等于 2，比值关系也符合我们之前得到的递推关系。因此，数列的通项公式就是 a n 等于 n 乘以 n 加 1 除以 2。 总结一下我们的解题过程：首先通过等差数列的性质建立了 S n 与 a n 的关系式，然后利用前 n 项和的递推性质得到了数列的递推关系，接着通过观察数列的规律猜测出通项公式，最后通过验证确认了公式的正确性。最终我们得到数列 a n 的通项公式为 n 乘以 n 加 1 除以 2。这种从特殊关系出发，建立递推关系，再观察规律得出通项公式的方法，在解决类似的数列问题中非常有效。