如何做出这道题？---**Question 1** (2025·天津南开·二模) 在梯形 $ABCD$ 中，$AB = AD = 2$，$\vec{BC} = \frac{3}{4}\vec{AD}$，$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -\frac{1}{2}$，记 $\vec{AB} = \vec{a}$，$\vec{AD} = \vec{b}$，用 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示 $\vec{CD} = \underline{\hspace{2em}}$；若点 $E$ 为 $BD$ 上一动点，则 $\vec{AE} \cdot \vec{BC}$ 的最大值为 $\underline{\hspace{2em}}$。

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这是一道关于梯形的向量问题。在梯形ABCD中，已知AB等于AD等于2，向量BC等于四分之三倍的向量AD，向量AC与向量BD的数量积等于负二分之一。设向量AB为向量a，向量AD为向量b。我们需要用向量a和向量b表示向量CD，并求出向量AE与向量BC数量积的最大值，其中点E是BD上的动点。 首先求解向量CD。我们可以利用向量的路径表示法，将向量CD表示为从C到D的路径向量和。向量CD等于向量CB加上向量BA再加上向量AD。其中向量CB等于负向量BC，即负四分之三倍向量b。向量BA等于负向量AB，即负向量a。向量AD等于向量b。将这些代入得到向量CD等于负四分之三倍向量b减去向量a加上向量b，化简后得到向量CD等于负向量a加上四分之一倍向量b。 接下来利用已知条件求解向量a与向量b的数量积。首先将向量AC和向量BD用向量a和向量b表示。向量AC等于向量AB加上向量BC，即向量a加上四分之三倍向量b。向量BD等于向量AD减去向量AB，即向量b减去向量a。将这两个表达式代入数量积条件，展开并利用AB等于AD等于2的条件，化简后得到四分之一倍向量a与向量b的数量积等于二分之一，因此向量a与向量b的数量积等于2。 最后求解向量AE与向量BC数量积的最大值。设点E在线段BD上，用参数t表示，其中t的取值范围是0到1。向量AE可以表示为1减t倍的向量a加上t倍的向量b。计算向量AE与向量BC的数量积，展开后代入已知的数量积值，得到表达式为二分之三加上二分之三倍的t。这是一个关于t的线性函数，当t等于1时取得最大值，最大值为3。 通过以上分析，我们成功解决了这道梯形向量问题。首先利用向量路径表示法，得到向量CD等于负向量a加上四分之一倍向量b。然后通过已知的数量积条件，求得向量a与向量b的数量积为2。最后用参数方程表示动点E的位置，建立目标函数，求得向量AE与向量BC数量积的最大值为3。这道题综合运用了向量的基本运算、数量积性质和函数最值等知识点。