### **题目（不等式与数列综合）** 已知正数数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，且对任意 \(n \in \mathbb{N}^*\)，有 \[ a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n^2 + \frac{1}{a_n} \] 设 \(b_n = a_n^2 - n\)，证明：数列 \(\{b_n\}\) 有界。

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我们有一个正数数列 a_n，其中 a_1 等于 1，并且满足递推关系：a_{n+1} 的平方加上 a_{n+1} 等于 a_n 的平方加上 1 除以 a_n。定义新数列 b_n 等于 a_n 的平方减去 n。我们需要证明数列 b_n 是有界的。 现在我们来分析递推关系。首先将原递推关系变形，得到 a_{n+1} 的平方减去 a_n 的平方等于 1 除以 a_n 减去 a_{n+1}。然后引入 b_n 的定义，可以得到 b_{n+1} 减去 b_n 等于 a_{n+1} 的平方减去 a_n 的平方再减去 1。最终建立 b_n 的递推关系。 现在分析数列的性质。首先观察到所有项都是正数。通过递推关系可以判断数列的单调性：当 a_n 大于等于 1 时，下一项会减小；当 a_n 小于 1 时，下一项会增大。这表明数列会趋向于某个收敛值。 现在进行有界性证明的关键步骤。我们的思路是证明 b_{n+1} 减去 b_n 的绝对值是有界的。通过关键不等式和数列的收敛性，可以得到差值的界。由于数列 a_n 收敛到大约 1.1，我们能够控制 b_n 的变化幅度，从而证明数列 b_n 是有界的。 总结一下我们的证明过程：首先通过递推关系分析了数列 a_n 的性质，证明了它是单调有界且收敛的。然后建立了 b_n 的递推关系并分析其变化规律。最后利用数列的收敛性成功证明了 b_n 的有界性，完成了这个数列与不等式的综合证明问题。