视频字幕
圆周率，用希腊字母π表示，是数学中最重要的常数之一。它定义为任意圆的周长与其直径的比值。无论圆的大小如何，这个比值始终是一个常数，约等于3.14159。圆周率是一个无理数，这意味着它的小数部分永远不会重复，无法用有限的小数或分数来精确表示。
古希腊数学家阿基米德发明了著名的多边形逼近法来计算圆周率。他的思想是在圆内画一个内接正多边形，在圆外画一个外切正多边形。内接多边形的周长小于圆周长，外切多边形的周长大于圆周长。随着多边形边数的增加，这两个多边形的周长会越来越接近圆的周长，从而得到圆周率的精确近似值。阿基米德使用96边形，计算出圆周率约等于3.14。
现代数学使用无穷级数来计算圆周率。最著名的是莱布尼茨级数，它表示π除以4等于1减去三分之一加上五分之一减去七分之一，如此无限延续下去。虽然这个级数收敛到π，但收敛速度较慢。马青公式是一个收敛更快的级数，它利用反正切函数的级数展开，在早期计算机时代被广泛使用。图中显示了莱布尼茨级数逐渐收敛到π的过程。
现代计算圆周率主要依靠高效的迭代算法。高斯-勒让德算法每次迭代都能使精度翻倍，收敛速度极快。楚德诺夫斯基算法更是每次迭代能增加14位有效数字，是目前计算超高精度圆周率的主要方法。结合现代超级计算机，科学家已经将圆周率计算到了数万亿位的精度。图中展示的是蒙特卡洛方法，通过随机投点来估算圆周率，虽然收敛较慢，但概念简单直观。
总结一下圆周率的计算方法：圆周率是圆周长与直径的比值，是数学中的重要常数。古代数学家如阿基米德使用多边形逼近法，通过增加多边形边数来逼近圆周率。现代数学则利用无穷级数和高效的迭代算法，结合计算机技术，已经将圆周率计算到了数万亿位的精度。从古代的几何方法到现代的数学分析方法，圆周率的计算历程体现了数学思想和计算技术的不断发展。