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无穷大和无穷小是数学中描述变量变化趋势的重要概念。无穷大指变量的绝对值无限增大，超过任何预先给定的正数。无穷小指变量在变化过程中，其极限为零。需要注意的是，它们不是具体的数值，而是一种变化趋势或状态。
无穷大有严格的数学定义。设函数f(x)在x₀的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数M，总存在正数δ，使得当0小于x减x₀的绝对值小于δ时，恒有f(x)的绝对值大于M，则称函数f(x)当x趋向于x₀时为无穷大。典型的例子是函数f(x)等于1除以x，当x趋向于0时，函数值趋向于无穷大。
无穷小也有严格的数学定义。设函数f(x)在x₀的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0小于x减x₀的绝对值小于δ时，恒有f(x)的绝对值小于ε，则称函数f(x)当x趋向于x₀时为无穷小。典型的例子是函数f(x)等于1除以x的平方加1，当x趋向于无穷大时，函数值趋向于0，即为无穷小。
无穷大与无穷小之间存在密切的倒数关系。如果函数f(x)的极限是无穷大，那么1除以f(x)的极限就是0，即无穷小。反之，如果函数f(x)的极限是0且f(x)不等于0，那么1除以f(x)的极限就是无穷大。这种倒数关系是无穷大和无穷小概念之间的重要联系。需要注意的是，零的倒数无意义，这里指的是非零无穷小。
总结一下我们学习的内容：无穷大和无穷小是数学中描述变量变化趋势的重要概念。无穷大指变量的绝对值无限增大，超过任何预先给定的正数。无穷小指变量的极限为零。需要强调的是，它们不是具体的数值，而是一种变化的状态或趋势。最后，非零无穷小与无穷大之间存在互为倒数的关系，这是连接这两个概念的重要纽带。