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同学们好，今天我们来学习一个经典的数学问题：在约束条件下求表达式的最值。题目是已知x的平方加y的平方等于5，求3x加4y的最大值。我们要用数形结合的思想来解决这个问题。首先理解约束条件：x的平方加y的平方等于5，这在坐标系中表示以原点为圆心、半径为根号5的圆。接下来理解目标函数：3x加4y等于k，这表示一族斜率相同的平行直线。
现在我们来分析如何找到最大值。关键思路是：点必须既在圆上，又在直线上。要使k达到最大值，直线应该与圆相切。我们用点到直线距离公式：圆心到直线3x加4y减k等于0的距离等于k的绝对值除以5。当直线与圆相切时，这个距离等于圆的半径根号5。因此我们得到方程：k的绝对值除以5等于根号5。
现在我们来计算具体的最大值。从方程k的绝对值除以5等于根号5，我们得到k的绝对值等于5倍根号5，所以k等于正负5倍根号5。由于我们要求最大值，所以k的最大值是5倍根号5。我们可以验证：当切点坐标为3除以根号5、4除以根号5时，代入目标函数得到3乘以3除以根号5加4乘以4除以根号5，确实等于5倍根号5。
现在我们从几何角度理解这个问题的本质。从几何意义上看，我们实际上是在寻找圆上的点到直线3x加4y等于0的最大距离，这个最大距离正好是根号5。向量(3,4)表示目标函数的梯度方向，它垂直于等值线。我们也可以用拉格朗日乘数法来验证这个结果：构造拉格朗日函数，对x和y求偏导数并令其为零，得到x等于3除以2λ，y等于4除以2λ。
通过这个例题，我们深刻体会到数形结合思想的威力。我们将代数问题转化为几何问题：约束条件x的平方加y的平方等于5表示一个圆，目标函数3x加4y等于k表示一族平行直线。最值出现在直线与圆相切的时候。利用点到直线的距离公式，我们求出了切点条件，最终得到答案：3x加4y的最大值为5倍根号5。这种方法不仅计算简洁，而且几何意义清晰，是解决约束优化问题的重要思路。