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矩阵几何变换是计算机图形学和数学中的重要概念。通过矩阵乘法，我们可以对二维和三维几何对象进行各种变换，包括平移、缩放、旋转和镜像。这些变换构成了现代图形处理的基础。
二维几何变换使用三乘三的矩阵和齐次坐标系统。平移矩阵在第三列包含平移量，缩放矩阵的对角元素控制各轴的缩放比例，旋转矩阵使用三角函数实现绕原点的旋转。齐次坐标让我们能够用统一的矩阵乘法处理所有变换。
现在演示二维变换的组合过程。从原始三角形开始，首先进行二倍缩放，然后绕原点旋转四十五度，最后向右上方平移一个单位。多个变换可以通过矩阵相乘组合成一个变换矩阵，提高计算效率。
三维变换使用四乘四的矩阵和四维齐次坐标。三维平移矩阵在第四列包含三个方向的平移量。三维旋转可以分别绕X、Y、Z轴进行，每个轴的旋转矩阵都有特定的形式。这里展示了一个立方体绕X轴旋转的效果。
总结一下矩阵几何变换的要点。矩阵变换为各种几何操作提供了统一的数学框架。齐次坐标系统让我们能用矩阵乘法处理包括平移在内的所有变换。二维和三维变换分别使用不同维度的矩阵。多个变换可以组合成单一矩阵提高效率。这些技术在现代计算机图形学中应用极为广泛。