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矩阵是进行几何变换的强大数学工具。通过矩阵乘法，我们可以对几何图形进行各种变换，如平移、旋转和缩放。在这个例子中，我们看到一个点P坐标为(1,1)，用向量表示。变换的基本公式是：变换后的点等于变换矩阵乘以原始点向量。
缩放变换是最基本的几何变换之一。缩放矩阵是一个对角矩阵，其中sx和sy分别表示x方向和y方向的缩放因子。当我们将点(2,1)用缩放因子为2的矩阵进行变换时，得到新的点(4,2)。从图中可以看到，原始点用蓝色表示，变换后的点用红色表示，向量长度增加了一倍。
旋转变换使用三角函数构成的矩阵。旋转矩阵包含余弦和正弦函数，其中θ表示逆时针旋转的角度。在这个例子中，我们将点(2,0)绕原点逆时针旋转90度。旋转90度的矩阵将余弦90度等于0，正弦90度等于1代入，得到变换后的点(0,2)。绿色弧线表示旋转的方向和角度。
平移变换需要使用齐次坐标系统。在齐次坐标中，二维点表示为三维向量，最后一个坐标为1。平移矩阵是三乘三矩阵，其中tx和ty分别表示x和y方向的平移距离。在这个例子中，我们将点(1,1)向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到新点(3,2)。绿色箭头显示了平移的方向和距离。
总结一下我们学习的内容：矩阵变换是进行几何变换的统一数学工具。缩放变换使用对角矩阵来改变图形的大小。旋转变换使用包含三角函数的矩阵来绕原点旋转图形。平移变换需要使用齐次坐标系统来实现位移。通过矩阵乘法，我们可以将多种变换组合成复合变换，这使得复杂的几何操作变得简单而高效。