以资深数学教师的身份解析本题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---**Extracted Content:** 已知线性非齐次方程组 $$ \begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = -7 \\ -x_1 + 4x_2 + mx_3 = k \end{cases} $$ 问 m, k 为何值时, 方程组

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同学们好！今天我们来解决一个经典的线性代数问题。已知一个含有参数m和k的线性非齐次方程组，我们需要判断在什么条件下方程组分别有唯一解、无解或无穷多解。解决这类问题的关键是分析系数矩阵A和增广矩阵的秩。 现在我们开始计算系数矩阵A的行列式。这是判断方程组解的情况的关键步骤。我们按第一行展开这个三阶行列式，得到三个二阶子式。计算每个二阶子式后，我们得到行列式等于负七倍的m加一的因式。这个结果告诉我们，当m等于负一时，行列式为零。 现在我们分析第一种情况：当行列式不等于零时。由于行列式等于负七倍的m加一，所以当m不等于负一时，行列式不为零。此时系数矩阵A是可逆的，方程组有唯一解，无论k取什么值都是如此。从几何角度看，这相当于三个不平行的平面相交于唯一的一个点。 现在分析第二种情况：当m等于负一时，行列式为零。我们将m等于负一代入增广矩阵，然后进行初等行变换。通过一系列行变换，我们得到阶梯形矩阵。关键是观察最后一行的形式：零零零竖线k减七。这个k减七的值将决定方程组是无解还是有无穷多解。 让我们总结一下完整的答案。当m不等于负一时，方程组有唯一解，k可以是任意值。当m等于负一且k不等于七时，方程组无解。当m等于负一且k等于七时，方程组有无穷多解。解决这类问题的关键是先计算系数矩阵的行列式，然后根据行列式是否为零进行分类讨论。