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同学们好！今天我们来解决一道立体几何题目。已知三个点A、B、C的坐标，我们需要计算三角形ABC的面积，以及找到过点C且与平面ABC垂直的平面方程。解决这类问题的关键是使用向量积，它既能帮我们计算面积，又能找到平面的法向量。
现在我们开始计算。首先要找到构成三角形的两个向量。我们选择从点A出发的两个向量：向量AB和向量AC。向量AB等于B减去A，计算得到坐标为3、4、5。向量AC等于C减去A，计算得到坐标为1、2、2。这两个向量就是我们三角形的两条边。
现在我们计算向量积。向量AB叉乘向量AC等于一个行列式，计算得到负2、负1、2。这个向量积的模长等于根号下4加1加4等于3。由于向量积的模长等于平行四边形的面积，所以三角形ABC的面积就是平行四边形面积的一半，即二分之三。同时，这个向量积也是平面ABC的法向量，为后面求垂直平面做准备。
现在求第二问。要找过点C且与平面ABC垂直的平面，关键是利用垂直平面的法向量互相垂直这个性质。设新平面的法向量为A、B、C，它与平面ABC的法向量负2、负1、2的点积必须为零。展开得到负2A减B加2C等于零。我们可以选择A等于1、C等于0，求得B等于负2，所以新平面的法向量是1、负2、0。利用点法式方程，最终得到平面方程为x减2y加2等于零。
好了同学们，我们的题目解答完毕！第一问，三角形ABC的面积是二分之三。第二问，过点C与平面ABC垂直的平面方程是x减2y加2等于零。这道题的关键是掌握向量积的双重作用：既能计算面积，又能找到法向量。记住，垂直平面的法向量互相垂直，利用点积为零就能确定新平面的法向量。立体几何其实并不难，只要理清思路，一步步来就能搞定！