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我们有一个等腰三角形ABC，其中AC等于BC等于5。D是AC上的一点，CD等于3，BD垂直于AC。P是BD上的一个动点，我们需要求PA加上五分之三倍PB的最小值。
首先计算各边长度。AD等于AC减CD，即5减3等于2。利用勾股定理，BD等于根号下BC平方减CD平方，即根号下25减9等于4。接下来建立坐标系，以D为原点，AC为x轴，BD为y轴。这样A点坐标为负2逗号0，B点坐标为0逗号4，C点坐标为3逗号0。P点在BD上，坐标为0逗号y，其中y的范围是0到4。
现在计算PA和PB的长度。PA等于根号下负2减0的平方加0减y的平方，化简得根号下4加y平方。PB等于根号下0减0的平方加4减y的平方，由于y在0到4之间，所以PB等于4减y。接下来建立目标函数f(y)等于PA加五分之三倍PB，即根号下4加y平方加五分之三乘以4减y，化简得根号下4加y平方加五分之十二减五分之三y。
第五步对函数求导。f撇y等于y除以根号下4加y平方减五分之三。令导数等于0，得到y除以根号下4加y平方等于五分之三。两边平方得y平方除以4加y平方等于二十五分之九。化简得25y平方等于9乘以4加y平方，即16y平方等于36，解得y等于二分之三。这是函数在区间内的唯一驻点，对应图像中的红色点。
第七步计算各点的函数值。当y等于二分之三时，PA等于二分之五，PB等于二分之五，函数值为4。当y等于0时，函数值为4点4。当y等于4时，函数值约为4点47。比较这三个值，最小值为4。因此，PA加五分之三倍PB的最小值是4。