视频字幕
阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一种特殊圆。它的定义是：到两个定点距离之比为常数的点的轨迹。如图所示，点P到点A和点B的距离之比等于常数k，当k不等于1时，这些点P构成一个圆。
阿波罗尼斯圆有几个重要性质。当k等于1时，满足条件的点的轨迹是两个定点的垂直平分线。当k不等于1时，轨迹是一个圆，这就是阿波罗尼斯圆。圆心总是在两个定点的连线上，位置由公式确定。让我们看看当k值变化时圆的变化。
现在让我们推导阿波罗尼斯圆的方程。设A点坐标为负a零，B点坐标为a零。设P点坐标为x y，是圆上任意一点。根据定义，P到A的距离与P到B的距离之比等于常数k。将距离公式代入，两边平方并整理，最终得到标准圆的方程形式。
阿波罗尼斯圆在数学和物理学中有广泛应用。在几何作图中，已知两点和比值，可以作出阿波罗尼斯圆。在解析几何中，用于求轨迹方程和解决最值问题。在物理学中，常用于描述电场、磁场中的等势线问题。图中展示了不同k值对应的阿波罗尼斯圆族。
总结一下我们学习的内容：阿波罗尼斯圆是到两个定点距离之比为常数的点的轨迹。当比值不等于1时，轨迹是一个圆；当比值等于1时，轨迹是两点的垂直平分线。圆心总是位于两定点的连线上，具体位置由比值决定。这个概念在几何作图、解析几何和物理学中都有重要应用，是古希腊几何学的重要成果。