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这是一道关于等腰三角形的几何问题。在三角形ABC中，AB等于AC，角BAC等于60度。点D在三角形ABC外，满足AD等于AE，角DAE等于60度。我们需要证明三角形ABE全等于三角形ACD，求BE的最大值，以及求CD中点的轨迹长度。
现在我们来证明三角形ABE全等于三角形ACD。根据已知条件，AB等于AC，角BAC等于60度，AD等于AE，角DAE等于60度。通过角度分析，我们可以得出角BAE等于角CAD。在三角形ABE和三角形ACD中，AB等于AC，角BAE等于角CAD，AE等于AD，因此根据边角边定理，三角形ABE全等于三角形ACD。
现在我们来求BE的最大值。已知AB等于2，角BAC等于60度，所以三角形ABC是等边三角形。由于AD等于AE等于2，点E在以A为圆心、半径为2的圆上运动。要使BE最大，点E应该在BA延长线上，此时BE的最大值等于AE加AB，即2加2等于4。
现在我们来求CD中点的轨迹长度。设CD的中点为M，O为AC的中点。通过向量分析，当点D在以A为圆心、半径为2的圆上运动时，点M的轨迹是以O为圆心、半径为1的圆。因此轨迹长度等于2π乘以半径1，即2π。
通过这道题目，我们完成了三个部分的证明和计算。首先利用边角边定理证明了三角形ABE全等于三角形ACD。然后通过分析点E在圆上的运动轨迹，求出BE的最大值为4。最后通过向量分析，得出CD中点的轨迹是一个圆，其长度为2π。这道题综合运用了全等三角形、圆的性质和轨迹分析等知识点。