以资深数学教师的身份解析本题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---**Question Stem:** 若曲线$y=x^2$的一条切线与直线$x+6y+5=0$垂直，则直线的方程为_______. **Relevant Text:** Curve equation: $y=x^2$ Line equation: $x+6y+5=0$ The question asks for the equation of the tangent line to the curve $y=x^2$ that is perpendicular to the line $x+6y+5=0$.

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同学们好！今天我们来解决一道关于切线和垂直线的有趣问题。我们有一条绿色的抛物线y等于x的平方，还有一条蓝色的直线x加6y加5等于0。我们需要找到抛物线的一条切线，使得这条切线与蓝色直线垂直。 首先，我们需要找到蓝色直线的斜率。将直线方程x加6y加5等于0化为斜截式。移项得到6y等于负x减5，两边除以6得到y等于负六分之一x减六分之五。所以蓝色直线的斜率m1等于负六分之一。 今天我们来解决一个关于切线与垂直直线的问题。题目要求我们找到曲线 y 等于 x 平方的一条切线，这条切线与直线 x 加 6y 加 5 等于 0 垂直。让我们一步步来解决这个问题。 首先我们需要求出已知直线的斜率。将直线方程 x 加 6y 加 5 等于 0 化为斜截式。移项得 6y 等于负 x 减 5，两边同时除以 6 得 y 等于负六分之一 x 减六分之五。因此已知直线的斜率为负六分之一。 接下来求切线的斜率。由于切线与已知直线垂直，根据垂直直线斜率乘积为负1的性质，我们有负六分之一乘以m2等于负1，解得m2等于6。然后利用导数求切点。对y等于x平方求导得y撇等于2x。由于切线斜率等于6，所以2x等于6，解得x等于3。将x等于3代入抛物线方程得y等于9，所以切点坐标是(3, 9)。 最后写出切线方程。利用点斜式，已知切点为(3, 9)，斜率为6，所以切线方程为y减9等于6乘以x减3。展开得y减9等于6x减18，整理得y等于6x减9。让我们验证一下：切线斜率为6，与已知直线斜率负六分之一的乘积确实为负1，满足垂直条件。将点(3, 9)代入切线方程，9等于6乘3减9等于18减9等于9，验证正确。因此答案是y等于6x减9。 最后写出切线方程。利用点斜式，已知切点为(3, 9)，斜率为6，所以切线方程为y减9等于6乘以x减3。展开得y减9等于6x减18，整理得y等于6x减9。让我们验证一下：切线斜率为6，与已知直线斜率负六分之一的乘积确实为负1，满足垂直条件。将点(3, 9)代入切线方程，9等于6乘3减9等于18减9等于9，验证正确。因此答案是y等于6x减9。 让我们总结一下解题步骤。首先求已知直线的斜率，将x加6y加5等于0化为斜截式得到斜率为负六分之一。然后利用垂直条件，垂直直线斜率乘积为负1，求得切线斜率为6。接着利用导数求切点，y撇等于2x等于6，得到切点坐标为(3,9)。最后用点斜式写出切线方程y等于6x减9。这就是我们的最终答案。