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我们有一个三角形ABC，已知边BC等于4，边AC等于3，角BAC等于60度。我们需要求出这个三角形的面积，以及当点D在边BC上且BD等于1时，线段AD的长度。
首先我们使用余弦定理来求边AB的长度。根据余弦定理，BC的平方等于AC的平方加AB的平方减去2倍AC乘AB乘角BAC的余弦值。将已知数值代入，得到16等于9加AB的平方减去3倍AB，整理后得到关于AB的二次方程：AB的平方减去3倍AB减去7等于0。
使用二次方程求根公式，我们得到AB等于3加根号37除以2。由于边长必须为正值，我们取正根。现在我们可以计算三角形的面积。使用面积公式：面积等于二分之一乘AC乘AB乘角BAC的正弦值。将数值代入，得到面积等于8分之3倍根号3乘以3加根号37。
现在我们需要求AD的长度。首先在三角形ABC中使用余弦定理求出角ACB的余弦值。然后注意到点D在边BC上，BD等于1，所以CD等于3。在三角形ACD中，我们知道AC等于3，CD等于3，角ACD等于角ACB。再次使用余弦定理，最终得到AD等于根号下8分之63加9倍根号37。
通过这道题，我们学习了如何综合运用余弦定理和面积公式解决三角形问题。首先用余弦定理求出未知边AB的长度，然后计算三角形面积。对于第二问，我们通过建立新的三角形ACD，再次运用余弦定理求出AD的长度。这种方法在解决复杂几何问题时非常有效。