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我们有一个三角形ABC，已知边BC等于4，边AC等于3，角BAC等于60度。我们需要求出三角形的面积，以及当点D在边BC上且BD等于1时，求AD的长度。
首先使用余弦定理求边AB的长度。根据余弦定理，BC的平方等于AB的平方加AC的平方减去2倍AB乘AC乘角BAC的余弦值。代入已知数值，得到AB的平方减3AB减7等于0。解这个一元二次方程，得到AB等于3加根号37除以2。
现在计算三角形的面积。使用三角形面积公式，面积等于二分之一乘AB乘AC乘角BAC的正弦值。代入已知值，AB等于3加根号37除以2，AC等于3，角BAC等于60度，其正弦值为根号3除以2。经过计算，得到面积等于9倍根号3加3倍根号111，全部除以8。
为了求AD的长度，我们需要先求角ACB的余弦值。在三角形ABC中，使用余弦定理，AB的平方等于AC的平方加BC的平方减去2倍AC乘BC乘角ACB的余弦值。代入已知值并化简，得到角ACB的余弦值等于9减根号37除以16。同时，我们标出点D在边BC上，BD等于1，所以CD等于3。
最后，在三角形ACD中使用余弦定理求AD的长度。已知AC等于3，CD等于3，角ACD等于角ACB。代入余弦定理公式，AD的平方等于AC的平方加CD的平方减去2倍AC乘CD乘角ACD的余弦值。经过计算，得到AD的平方等于63加9倍根号37除以8，因此AD等于根号下63加9倍根号37除以8。