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Cramér-Rao下界是统计学中一个重要的理论概念。它告诉我们，对于任何无偏估计量，其方差都有一个理论下界，这个下界由费希尔信息决定。数学上表示为估计量的方差大于等于费希尔信息的倒数。
费希尔信息是CRLB的核心概念。它衡量了样本数据中关于未知参数的信息量。费希尔信息越大，说明数据包含的参数信息越多，相应的估计量方差下界就越小。图中显示了费希尔信息与其倒数的关系，倒数正是CRLB的值。
当一个无偏估计量的方差恰好达到Cramér-Rao下界时，我们称它为有效估计量。有效估计量是最优的无偏估计量，因为它在所有无偏估计量中具有最小的方差。图中绿色曲线表示有效估计量，它与红色的CRLB完全重合，而蓝色曲线表示非有效估计量。
让我们通过正态分布的例子来理解CRLB的应用。对于正态分布，样本均值是参数μ的无偏估计量。通过计算费希尔信息，我们可以得到CRLB为σ²除以n。而样本均值的方差恰好等于这个下界，因此样本均值是μ的有效估计量。
总结一下，Cramér-Rao下界是统计学中的重要概念。它给出了无偏估计量方差的理论下界，这个下界由费希尔信息决定。达到下界的估计量称为有效估计量，是最优的无偏估计量。CRLB为我们评估和比较不同估计量的性能提供了重要标准。