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无穷级数是数学中的一个重要概念。它是将一个无穷数列的项按照顺序加起来形成的表达式。我们用求和符号来表示无穷级数，记作从n等于1到无穷大的a下标n的和。例如，1加二分之一加四分之一加八分之一，这样无穷地加下去。
为了理解无穷级数的性质，我们需要引入部分和的概念。部分和S下标n是级数前n项的和。当n趋向无穷时，如果部分和数列的极限存在且为有限值，我们说这个级数收敛。反之，如果极限不存在或为无穷大，则称级数发散。
几何级数是最重要的无穷级数之一。它的一般形式是a加ar加ar的平方加ar的三次方，以此类推。当r的绝对值小于1时，几何级数收敛，其和等于a除以1减r。例如，当a等于1，r等于二分之一时，级数1加二分之一加四分之一加八分之一等于2。图中显示了部分和如何逐渐趋近于极限值2。
除了几何级数，还有许多其他重要的级数类型。调和级数是所有n分之一的和，虽然每一项都趋向于零，但这个级数是发散的。p级数是所有n的p次方分之一的和，当p大于1时收敛，p小于等于1时发散。交错级数的项正负交替，比如交错调和级数，它是收敛的。图中红线显示调和级数的部分和不断增长，蓝线显示交错调和级数的部分和趋向于一个有限值。
总结一下我们学到的内容：无穷级数是无穷数列项的和，我们通过部分和数列来判断级数的收敛性。几何级数当公比的绝对值小于1时收敛，调和级数虽然通项趋于零但仍然发散，而交错调和级数则是收敛的。无穷级数在数学分析、物理学和工程学中都有重要的应用价值。