四元数是一种扩展了复数的数学系统。它由一个实部和三个虚部组成，一般形式为 a 加 b i 加 c j 加 d k。其中 a 是实部，b、c、d 是虚部系数，i、j、k 是三个不同的虚数单位。
四元数的虚数单位满足特殊的乘法规则。基本规则是 i 的平方等于 j 的平方等于 k 的平方等于 i j k 等于负一。具体的乘法规则包括 i j 等于 k，但 j i 等于负 k。这说明四元数的乘法不满足交换律，顺序很重要。
四元数最重要的应用是表示三维空间中的旋转。相比于欧拉角或旋转矩阵，四元数有很多优点：它能避免万向锁问题，表示更紧凑，只需要四个数字而不是九个，更容易进行平滑插值，计算效率更高，数值稳定性也更好。旋转公式是 v 撇等于 q v q 的逆。
我们可以用一个生动的比方来理解数系的演进。实数就像描述一条直线上的点，是一维的。复数是实数的扩展，可以描述平面上的点，是二维的，特别擅长处理二维旋转。而四元数则是复数的扩展，专门用来处理三维旋转。就像复数是实数的二维扩展一样，四元数是复数在三维旋转方面的扩展！
让我们总结一下四元数的要点。四元数是扩展复数的数学系统，包含一个实部和三个虚部。虚数单位满足特殊的乘法规则，且乘法不可交换。它主要用于表示三维空间中的旋转，能够避免万向锁等问题。我们可以把它类比为从实数到复数再到四元数的维度扩展。四元数在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛应用。