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向量y关于向量x的梯度，实际上就是雅可比矩阵。当y是m维向量，x是n维向量时，梯度是一个m乘以n的矩阵。
雅可比矩阵的构建分为三个步骤。首先确定矩阵维度为m乘以n，然后计算每个y分量对每个x分量的偏导数，最后将这些偏导数按位置排列成矩阵。
让我们通过一个具体例子来演示计算过程。给定y1等于x1的平方加x2，y2等于x1乘以x2。计算各偏导数：y1对x1的偏导数是2x1，对x2的偏导数是1；y2对x1的偏导数是x2，对x2的偏导数是x1。
雅可比矩阵在数学和工程中有广泛应用。它用于多元函数的线性近似，坐标变换中的变换矩阵，神经网络的反向传播算法，以及各种优化算法中的梯度计算。雅可比矩阵是多元微积分的核心工具。
总结一下我们学到的内容：向量y关于向量x的梯度就是雅可比矩阵，矩阵维度为m乘以n，矩阵元素是各分量的偏导数，这个概念在机器学习和数值计算中有广泛应用。