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三角函数是数学中的重要概念，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。在直角三角形中，我们定义正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。这些基本定义构成了三角函数的核心原理。
单位圆是理解三角函数的重要工具。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化，展现出三角函数的周期性质。每转一圈，也就是2π弧度，函数值就会重复一次。
三角函数的图像清楚地展示了它们的周期性质。正弦函数图像呈现波浪形，从零开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到零，在3π/2时达到最小值负1，最后在2π时回到零。余弦函数图像与正弦函数相似，但向左平移了π/2。这两个函数都具有2π的周期，即每隔2π个单位，函数值就会重复。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这个恒等式可以通过单位圆直观理解。此外还有和角公式、周期公式等。这些恒等式在数学推导、物理建模和工程计算中都有广泛的应用，是解决复杂问题的重要工具。
总结一下三角函数的基本原理：首先，三角函数基于直角三角形中边长的比值来定义。其次，通过单位圆可以将定义扩展到任意角度，展现出周期性特征。第三，函数图像呈现规律的波浪形，周期为2π。第四，存在重要的恒等关系式。最后，三角函数在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用价值。