Binomialverteilung, Binomialkoeffizienz, Stochastik etc. für 12. Klasse erklärt

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Willkommen zur Stochastik! Stochastik ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Zufall und Wahrscheinlichkeit beschäftigt. Die Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept für wiederholte Zufallsexperimente. Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg und Misserfolg. Zum Beispiel beim Münzwurf haben wir Kopf oder Zahl, jeweils mit Wahrscheinlichkeit null komma fünf. Der Binomialkoeffizient n über k gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus n Objekten auswählen kann. Die Formel lautet n Fakultät geteilt durch k Fakultät mal n minus k Fakultät. Zum Beispiel: Aus vier Münzwürfen zwei Erfolge auswählen ergibt vier über zwei gleich sechs Möglichkeiten. Hier sehen wir alle sechs verschiedenen Anordnungen von zwei Erfolgen bei vier Versuchen. Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n unabhängigen Versuchen. Die Formel kombiniert den Binomialkoeffizienten mit den Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg. Hier sehen wir ein Beispiel mit vier Münzwürfen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von null komma fünf. Die Balken zeigen die Wahrscheinlichkeiten für null bis vier Erfolge. Schauen wir uns ein praktisches Beispiel an. Ein Basketballspieler trifft mit sechzig Prozent Wahrscheinlichkeit. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei fünf Würfen genau drei mal trifft? Wir haben n gleich fünf, k gleich drei und p gleich null komma sechs. Die Berechnung ergibt: fünf über drei mal null komma sechs hoch drei mal null komma vier hoch zwei. Das sind zehn mal null komma zwei eins sechs mal null komma eins sechs, was null komma drei vier fünf sechs oder vierunddreißig komma fünf sechs Prozent ergibt. Fassen wir zusammen: Die Stochastik beschäftigt sich mit Zufall und Wahrscheinlichkeit. Der Binomialkoeffizient zählt die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei wiederholten unabhängigen Versuchen. Die Formel kombiniert den Binomialkoeffizienten mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Diese Konzepte finden Anwendung in vielen praktischen Bereichen wie Qualitätskontrolle, Medizin und Wirtschaft.