日本語で解いて---**Problem Statement:** x + y = 2, x² + y² = 1 のとき, xy, x³ + y³, x⁵ + y⁵ の値をそれぞれ求めよ。 **English Translation of Problem Statement:** Given that x + y = 2 and x² + y² = 1, find the values of xy, x³ + y³, and x⁵ + y⁵ respectively.

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連立方程式の問題です。エックス プラス ワイ イコール 2、エックス二乗 プラス ワイ二乗 イコール 1 が与えられています。この条件のもとで、エックスワイ、エックス三乗 プラス ワイ三乗、エックス五乗 プラス ワイ五乗 の値をそれぞれ求めます。 まず、エックスワイの値を求めます。エックス プラス ワイ の二乗 イコール エックス二乗 プラス 2エックスワイ プラス ワイ二乗 という公式を使います。与えられた値を代入すると、2の二乗 イコール 1 プラス 2エックスワイ となります。これを計算すると、4 イコール 1 プラス 2エックスワイ、よって 2エックスワイ イコール 3、エックスワイ イコール 2分の3 となります。 次に、エックス三乗 プラス ワイ三乗 の値を求めます。エックス三乗 プラス ワイ三乗 イコール エックス プラス ワイ の三乗 マイナス 3エックスワイ かける エックス プラス ワイ という公式を使います。既知の値 エックス プラス ワイ イコール 2 と エックスワイ イコール 2分の3 を代入すると、2の三乗 マイナス 3 かける 2分の3 かける 2 イコール 8 マイナス 9 イコール マイナス1 となります。 最後に、エックス五乗 プラス ワイ五乗 の値を求めます。エックス五乗 プラス ワイ五乗 イコール エックス二乗 プラス ワイ二乗 かける エックス三乗 プラス ワイ三乗 マイナス エックスワイ の二乗 かける エックス プラス ワイ という関係式を使います。既知の値を代入すると、1 かける マイナス1 マイナス 2分の3 の二乗 かける 2 イコール マイナス1 マイナス 4分の9 かける 2 イコール マイナス1 マイナス 2分の9 イコール マイナス 2分の11 となります。 以上で問題の解答が完了しました。与えられた条件 エックス プラス ワイ イコール 2 と エックス二乗 プラス ワイ二乗 イコール 1 から、基本的な恒等式を利用して順次計算しました。エックスワイ イコール 2分の3、エックス三乗 プラス ワイ三乗 イコール マイナス1、エックス五乗 プラス ワイ五乗 イコール マイナス 2分の11 という結果を得ることができました。