Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

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今天我们来证明关于直线和角的重要定理。首先是对顶角相等定理。当两条直线相交时，形成四个角。我们可以看到角1和角3是对顶角，角2和角4也是对顶角。通过邻补角的性质，我们可以证明对顶角相等。 接下来证明平行线的性质定理。当截线穿过两条平行线时，会形成八个角。我们重点证明同位角相等和内错角相等。同位角是指在相同位置的角，如角1和角5。内错角是指在截线两侧、平行线之间的角，如角3和角6。 现在我们证明垂直平分线的性质定理。这个定理说：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。首先证明如果点在垂直平分线上，那么它到两端点距离相等。通过构造两个三角形并证明它们全等，我们可以得出结论。 对顶角相等是几何中的基本定理。当两条直线相交时，形成四个角，其中相对的角称为对顶角。我们可以通过邻补角的性质来证明对顶角相等。 当一条横截线与两条平行线相交时，形成的内错角相等。我们可以通过同位角和对顶角的性质来证明这个定理。 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。我们通过构造全等三角形来证明这个性质。 现在证明垂直平分线性质的逆命题：如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上。我们从已知条件PA等于PB出发，通过构造等腰三角形和全等三角形，最终证明PM垂直于AB，从而得出结论。 总结一下我们学到的内容：对顶角相等定理说明两条直线相交时形成的对顶角必定相等。平行线的性质告诉我们横截线与平行线相交时内错角和同位角相等。垂直平分线的性质表明线上任意点到线段两端距离相等，反之距离相等的点必在垂直平分线上。这些定理构成了几何推理的重要基础。 总结一下我们学到的内容：对顶角相等定理说明两条直线相交时形成的对顶角必定相等。平行线的性质告诉我们横截线与平行线相交时内错角和同位角相等。垂直平分线的性质表明线上任意点到线段两端距离相等，反之距离相等的点必在垂直平分线上。这些定理构成了几何推理的重要基础。