分析解答问题---**Problem:** 1. 在矩形 ABCD 中, 有一个菱形 BFDE (点 E, F 分别在线段 AB, CD 上), 记它们的面积分别为 S_ABCD 和 S_BFDE. 现给出下列命题: ① 若 S_ABCD / S_BFDE = (2 + √3) / 2, 则 tan∠EDF = √3 / 3; ② 若 DE^2 = BD ⋅ EF, 则 DF = 2AD. 那么 ( ) **Options:** A. ① 是真命题, ② 是真命题 B. ① 是真命题, ② 是假命题 C. ① 是假命题, ② 是真命题 D. ① 是假命题, ② 是假命题

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我们来分析一个关于矩形中菱形的几何问题。在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE，其中点E在线段AB上，点F在线段CD上。我们需要判断两个命题的真假性。 首先建立坐标系和基本关系。设矩形的边长AB等于CD等于a，AD等于BC等于b。菱形的边长都等于x。矩形面积为ab，菱形面积为x乘以b。在直角三角形ADE中，根据勾股定理，我们得到基本关系式：b的平方加上a减x的平方等于x的平方，化简后得到b的平方加a的平方减2ax等于0。 现在分析命题一。已知面积比S_ABCD除以S_BFDE等于2加根号3除以2，这等于a除以x。通过代入基本关系式并求解，我们得到x等于2b。接下来计算角EDF，通过向量计算得到余弦值为根号3除以2，所以角EDF等于30度，正切值确实等于根号3除以3。因此命题一是真命题。 接下来分析命题二。已知条件是DE的平方等于BD乘以EF，要证明DF等于2倍AD。通过菱形对角线的性质，我们建立了4x的平方等于BD的平方加EF的平方的关系。结合给定条件，解得BD的平方等于2加减根号3倍x的平方。再利用BD的平方等于a的平方加b的平方等于2ax的关系，最终求得x等于2b，即DF等于2AD。因此命题二也是真命题。 通过详细的数学分析，我们验证了两个命题的真假性。命题一通过面积比条件，成功推导出角EDF的正切值等于根号3除以3。命题二通过对角线关系条件，证明了DF确实等于2倍AD。因此两个命题都是真命题，正确答案是A。这个问题的关键在于熟练运用菱形的性质和几何关系进行推理计算。