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欧拉恒等式 e 的 i π 次方等于负一，是数学中最著名的公式之一。它优雅地连接了五个重要的数学常数：自然对数的底 e，虚数单位 i，圆周率 π，以及数字 1 和 0。在复平面上，这个等式表示从点 1 出发，沿单位圆逆时针旋转 π 弧度，最终到达点负一。
欧拉公式 e 的 i x 次方等于余弦 x 加上 i 乘以正弦 x，是复分析的基础。通过泰勒级数展开，我们可以看到指数函数如何分解为实部的余弦函数和虚部的正弦函数。在复平面上，这表示单位圆上的点，其中实轴对应余弦值，虚轴对应正弦值。
现在我们将 x 等于 π 代入欧拉公式。首先计算 π 弧度对应的三角函数值：余弦 π 等于负一，正弦 π 等于零。将这些值代入公式，得到 e 的 i π 次方等于负一加上 i 乘以零，化简后就是负一。在复平面上，这表示从点一出发，逆时针旋转 π 弧度，正好到达点负一。
从几何角度看，e 的 i π 次方表示在复平面上的旋转操作。将复数 1 乘以 e 的 i π 次方，相当于将点 1 绕原点逆时针旋转 π 弧度，也就是 180 度。这个旋转操作将点 1 精确地移动到点负 1 的位置。这揭示了指数函数、三角函数和复数之间的深刻几何联系。
总结一下我们学到的内容：欧拉恒等式 e 的 i π 次方等于负一，优雅地连接了自然对数底数 e、虚数单位 i、圆周率 π 以及数字 1 和 0 这五个重要的数学常数。通过欧拉公式的推导，我们看到了指数函数与三角函数的内在联系。在几何上，它表示复平面上从点 1 到点负 1 的旋转变换。这个公式被广泛认为是数学中最美丽、最深刻的等式之一。