矩阵 S B的秩矩阵 SB是一个外积形式的矩阵，即： S B ​ =vv T 其中 v= m ˉ 1 ​ − m ˉ 2 ​ 。根据线性代数的知识，一个外积形式的矩阵 vv T 的秩最多为 1，因为它的列空间由向量 v 张成。 因此，如果 v  =0（即两类样本的均值不相等），则 S B ​ 的秩为 1。

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在线性判别分析中，类间散布矩阵 S B 具有特殊的外积结构。它被定义为 v v 转置的形式，其中向量 v 等于两类样本均值向量的差。这种外积形式决定了矩阵的重要性质。 外积矩阵具有重要的线性代数性质。首先，任何外积矩阵 v v 转置的秩最多为 1。这是因为矩阵的所有列都是向量 v 的标量倍数，因此列空间完全由向量 v 张成。当向量 v 不为零向量时，矩阵的秩恰好等于 1。 现在我们分析类间散布矩阵 S B 的秩。由于 S B 等于向量 v 与其转置的外积，而 v 等于两类样本均值向量的差，因此矩阵的秩取决于向量 v 是否为零向量。当两类样本的均值不相等时，向量 v 不为零，此时 S B 的秩为 1。 从几何角度来理解，矩阵的秩为1意味着所有列向量都共线，它们的列空间构成一个一维子空间。在线性判别分析中，类间散布矩阵 S B 的秩为1反映了两类数据之间的差异完全由一个方向决定，这个方向就是两类均值向量差的方向。 总结一下我们学到的内容：类间散布矩阵 S B 是外积形式的矩阵，根据线性代数理论，外积矩阵的秩最多为1。当两类样本的均值向量不相等时，矩阵 S B 的秩恰好为1。这一重要性质在线性判别分析的理论基础中发挥着关键作用。