一元三次方程是数学中的重要内容。它的一般形式是 a x 三次方加 b x 二次方加 c x 加 d 等于零，其中 a 不等于零。求解三次方程主要有三种方法：有理根定理、卡尔达诺公式和数值方法。
有理根定理是求解三次方程的第一种方法。如果方程有有理根 p 除以 q，其中 p 和 q 互质，那么 p 必须是常数项的因数，q 必须是首项系数的因数。以方程 x 三次方减 6 x 二次方加 11 x 减 6 等于零为例，常数项负六的因数有正负一、正负二、正负三、正负六，首项系数一的因数只有正负一，所以可能的有理根就是正负一、正负二、正负三、正负六。检验发现 x 等于一时函数值为零，所以 x 等于一是一个根。
卡尔达诺公式是求解一般三次方程的代数方法。首先将方程标准化为 x 三次方加 p x 二次方加 q x 加 r 等于零的形式。然后通过代换 x 等于 y 减 p 除以三来消去二次项，得到亏格方程 y 三次方加 P y 加 Q 等于零。接下来计算判别式 delta 等于 Q 二次方除以四加 P 三次方除以二十七。根据判别式的值可以判断根的性质：大于零时有一个实根和两个复根，等于零时有重根，小于零时有三个不同的实根。
当解析解过于复杂时，我们可以使用数值方法来近似求解三次方程。牛顿迭代法是最常用的数值方法，其公式为 x 下标 n 加一等于 x 下标 n 减去 f 括号 x 下标 n 除以 f 撇括号 x 下标 n。以方程 x 三次方减 2 x 减 5 等于零为例，导数为 3 x 二次方减 2。从初值 x 零等于 2 开始迭代，经过几次迭代后快速收敛到精确解约 2.0946。这种方法在实际应用中非常有效。
总结一下一元三次方程的求解方法。有理根定理适合快速找到有理根，特别适用于整系数方程。卡尔达诺公式是通用的代数解法，可以求出所有根。数值方法如牛顿迭代法在解析解过于复杂时是实用的选择。选择求解方法时要根据方程的特点和精度要求来决定。三次方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。