这题有什么思路---Question 9: 已知某消费者的效用函数为 $U=\frac{1}{3}\ln Q_1 + \frac{2}{3}\ln Q_2$，收入为 $m$，两种商品的价格分别为 $P_1$ 和 $P_2$。求： (1) 消费者分别对两种商品的需求函数； (2) 当 $m=300, P_1=1, P_2=2$ 时的均衡购买量。

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这是一个经典的消费者效用最大化问题。消费者有一个效用函数，包含两种商品Q1和Q2，系数分别是三分之一和三分之二。消费者需要在预算约束下最大化效用。图中显示了预算线和无差异曲线，最优消费点位于两者相切的位置。 解决这个问题的第一步是计算边际效用。对效用函数分别对Q1和Q2求偏导数。对Q1求偏导，得到边际效用MU1等于三分之一除以Q1。对Q2求偏导，得到边际效用MU2等于三分之二除以Q2。这两个边际效用表示消费者增加一单位商品时效用的增加量。 第二步是建立均衡条件。首先计算边际替代率，即两种商品边际效用的比值，得到Q2除以2Q1。根据效用最大化理论，均衡时边际替代率等于价格比。将边际替代率等于价格比P1除以P2，整理后得到Q2等于2P1除以P2乘以Q1。这个关系式描述了两种商品之间的最优消费比例。 第三步是求解需求函数。将前面得到的均衡关系代入预算约束条件。预算约束是P1乘以Q1加上P2乘以Q2等于收入m。代入Q2的表达式后化简，得到3P1Q1等于m。解出Q1等于m除以3P1，这是商品1的需求函数。同样可以得到Q2等于2m除以3P2，这是商品2的需求函数。 现在计算具体的均衡购买量。给定收入m等于300，商品1价格P1等于1，商品2价格P2等于2。将这些数值代入需求函数，得到Q1等于300除以3等于100，Q2等于600除以6等于100。验证预算约束，1乘以100加上2乘以100等于300，正好等于收入，验证正确。因此最终答案是：需求函数为Q1等于m除以3P1，Q2等于2m除以3P2；均衡购买量为Q1等于100，Q2等于100。