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今天我们来学习三角形中位线定理。在三角形ABC中，连接两边中点的线段叫做三角形的中位线。如图所示，D是边AB的中点，E是边AC的中点，连接DE就是三角形ABC的中位线。中位线有一个重要性质：它平行于第三边，且等于第三边的一半。
证明的第一步是延长中位线。我们延长DE到点F，使得EF等于DE，然后连接CF。这样的构造是为了创造全等三角形，利用全等三角形的性质来证明中位线定理。通过这种辅助线的添加，我们可以建立起边和角之间的关系。
现在我们证明三角形ADE与三角形CFE全等。在这两个三角形中，首先，AE等于CE，因为E是AC的中点。其次，角AED等于角CEF，因为它们是对顶角。第三，DE等于EF，这是我们作图时设定的条件。根据边角边定理，即SAS，我们可以得出三角形ADE全等于三角形CFE。
利用全等三角形的性质，我们得到AD等于CF，角DAE等于角FCE。因为D是AB的中点，所以AD等于DB，进而得到DB等于CF。由于角DAE等于角FCE，这是内错角相等，所以DB平行于CF。既然DB平行于CF且DB等于CF，四边形DBCF就是平行四边形。根据平行四边形的性质，对边平行且相等，所以DF平行于BC且DF等于BC。
通过以上证明，我们完整地证明了三角形中位线定理。总结一下：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。证明的关键是延长中位线，构造全等三角形，然后利用平行四边形的性质。这个定理在几何学中有广泛应用，特别是在解决平行线和线段长度问题时非常有用，是几何证明中的基础定理之一。