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同学们好！今天我们来解决一道有趣的圆与直线问题。题目问圆 x平方加y平方加2x加4y减3等于0 上，到直线 x加y加1等于0 的距离等于根号2的点有几个。首先，我们需要将圆的方程化为标准形式。通过配方法，我们得到圆心为负1负2，半径为2倍根号2。
第二步，我们计算圆心到直线的距离。使用点到直线距离公式，圆心负1负2到直线x加y加1等于0的距离等于1乘以负1加1乘以负2加1的绝对值，除以根号2，计算得到距离为根号2。由于圆心到直线的距离根号2小于圆的半径2倍根号2，所以直线穿过圆的内部。
第三步，我们需要找到与原直线平行且距离为根号2的直线。设平行线方程为x加y加k等于0，它与原直线x加y加1等于0的距离为k减1的绝对值除以根号2。令这个距离等于根号2，解得k等于3或k等于负1。因此得到两条平行线：x加y加3等于0和x加y减1等于0。
第四步，我们计算两条平行线与圆的交点个数。对于第一条平行线x加y加3等于0，将y等于负x减3代入圆的方程，解得x等于1或x等于负3，所以有2个交点。对于第二条平行线x加y减1等于0，代入后得到x减1的平方等于0，只有一个解x等于1，说明这条直线与圆相切，只有1个交点。
让我们总结一下解题过程。首先将圆的方程化为标准形式，得到圆心坐标和半径。然后计算圆心到直线的距离为根号2。接着找到两条与原直线平行且距离为根号2的直线。第一条平行线与圆有2个交点，第二条平行线与圆相切有1个交点。因此，圆上到直线距离等于根号2的点总共有3个。