视频字幕
同学们好！今天我们来解决一个有趣的等差数列问题。题目给出了一个包含分式求和的等式，要求我们找出常数c的值。解决这类问题的关键在于观察求和式的结构，并利用等差数列的性质进行巧妙变形。
今天我们来解决一个关于等差数列的有趣问题。给定各项不为零的等差数列，其中连续项倒数乘积的和等于一个特殊的分式，我们需要找出常数c的值。这个问题看起来复杂，但蕴含着等差数列的美妙性质。
现在我们来发现等差数列的一个重要性质。对于等差数列，相邻两项的差等于公差d。通过巧妙的分式变形，我们可以将分母为相邻两项乘积的分式，转化为两个简单分式的差。这个变形是解决问题的关键所在。
接下来我们使用望远镜求和法。将刚才的变形公式应用到整个求和式中，我们得到一个美妙的结果。展开所有项后发现，中间的项会两两抵消，这就是望远镜求和的神奇之处，最终只剩下首项和末项的贡献。
最后一步，我们比较等式两边。通过通分和利用等差数列的性质，即末项减首项等于n减1倍的公差，我们可以化简左边的表达式。经过计算，我们发现两边完全相等，因此常数c等于1。这就是我们要找的答案！
现在我们来看裂项相消的神奇效果。将变形公式应用到整个求和式后，我们得到一个裂项相消的形式。展开所有项可以看到，中间的项会两两抵消，就像望远镜收缩一样，最终只剩下首项和末项。这样我们就得到了一个非常简洁的表达式。
最后一步，我们将化简得到的结果与原等式的右边进行比较。由于n大于1，所以n减1不等于零；由于各项不为零，所以a1乘以an也不等于零。因此我们可以约去公因子，得到1等于c。所以常数c的值就是1！这就是我们要找的答案。
通过这个问题，我们学会了处理等差数列分式求和的重要方法。关键在于识别结构特征，利用等差数列的性质进行巧妙变形，然后应用裂项相消技巧化简求和式。这种望远镜求和法在数列问题中有广泛应用，是解决此类问题的有力工具。