以资深数学教师的身份解析本题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---**Question:** $\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin t \cdot \cos^2 t dt$ 等于? **Options:** A. $-\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $-\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{3}$

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同学们好！今天我们来解决一道定积分题目。这个积分从二分之派积分到零，被积函数是正弦t乘以余弦平方t。注意积分上下限是反向的，这意味着结果会是负值。我们可以看到函数图像中，正弦函数和余弦函数在零到二分之派区间的变化。 现在我们开始换元法的第一步：选择合适的替换变量。观察被积函数，我们发现它包含余弦的平方和正弦函数。由于余弦函数的导数是负正弦，这提示我们设u等于余弦t。这样，du就等于负正弦t乘以dt，正好对应被积函数中的正弦t乘以dt部分。 第二步是转换积分上下限。这是定积分换元法的关键步骤。当t等于二分之派时，u等于余弦二分之派，也就是零。当t等于零时，u等于余弦零，也就是一。所以新的积分限从零到一。原来的积分就变成了从零到一对u的平方乘以负du的积分。 第三步是计算新的积分。我们得到负的从零到一对u平方的积分。u平方的原函数是三分之u的三次方。代入积分限，上限一的三次方除以三减去下限零的三次方除以三，等于三分之一减去零，最终结果是负三分之一。这正好对应选项C。 总结一下这道题的解法：首先识别被积函数的结构，发现正弦t和余弦平方t的组合。然后选择合适的换元u等于余弦t。接着正确转换积分限。最后计算新积分得到负三分之一。换元法是处理复合函数积分的重要方法，掌握好这个技巧对解决定积分问题很有帮助。